Tại ngày hội Toán học của Viện nghiên cứu khoa học MSRI: Các nhà toán học đưa môn học này đến với trẻ em thông qua những trò ảo thuật. Ảnh: MSRI.

Thôi, cứ nói chuyện sau tức là chuyện dạy đã: nào ai đã từng để ý có mấy ông thầy giáo giỏi nhất lại là người giảng giải tệ nhất chưa? (tôi biết đấy, nhưng thôi nói ra không khéo mất hết bạn bè). Về phía ngược lại, có ai để ý chuyện có mấy tay giảng hay cực kỳ lại không nhất thiết phải là thầy giỏi? Một bài giảng hay thì thường là có hệ thống, đầy đủ, chính xác chi tiết và tóm lại là chán; nghĩa là bài giảng thì không dùng để dạy được. Tất nhiên là gặp những huyền thoại nói năng như Emil Artin1hay John von Neumann2thì dẫu có giảng họ vẫn dạy rất tốt, thần thái và nhiệt huyết của họ xuyên thấu được bài giảng để thúc đẩy người nghe phải đứng lên làm gì đó, nhưng đó là chuyện huyền thoại. Còn với những người phàm trần như chúng ta, không đạt được mức giảng dở như Wiener3(cho nên cũng không thể được nhận xét là dạy thần sầu như ông), mà cũng không giảng hay được như Artin (cũng không thể tạo được kịch tính như ông) nên với chúng ta, cứ hễ giảng thì cầm chắc là dạy tệ.

Học toán thực ra là giải quyết những vấn đề cụ thể

Thế nào là thầy dạy giỏi? Tôi quan niệm rất đơn giản, thực dụng: nhìn trái đoán cây. Nếu là thầy dạy đại học mà đào tạo ra được những tiến sĩ toán là những nhà toán học, sáng tạo ra những quy tắc toán mới, giàu chất lượng thì đó là người dạy giỏi. Nếu là thầy dạy vi tích phân mà tạo ra được những sinh viên toán sau đại học, hay những kỹ sư, nhà sinh học, nhà kinh tế xuất sắc thì đó là thầy dạy giỏi. Nếu là thầy dạy “cấp ba” mà tạo ra được những sinh viên học vi tích phân, những nhân viên kế toán, hoặc những thợ sửa xe, những ông kỹ thuật viên ngành mộc thì đó là ông thầy dạy giỏi.

Với một người học toán mà nghe ai đó nói về toán thì cũng chẳng hơn gì người học bơi nghe nói về bơi. Anh không thể học kỹ thuật bơi bằng cách nghe người ta nói phải vươn tay và đạp chân thế nào, và cũng không thể học giải toán bằng cách nghe người ta nói phải bình phương và dùng y thay sin (u).

Thế thì người ta có thể học toán bằng cách đọc không? Tôi có khuynh hướng nói không. Đọc thì hơn nghe một chút vì nó chủ động hơn, nhưng cũng không hơn mấy. Đọc mà có cây bút với tờ giấy bên cạnh thì tốt hơn nhiều, thực ra có bút giấy bên cạnh là đang đi đúng hướng rồi đấy. Nghĩa là, thực ra, cách đọc sách tốt nhất là có bút giấy bên cạnh, tức là lấy cây bút mà viết lên mảnh giấy và quăng quyển sách đi.

Nói thì quá khích vậy nhưng tôi xin hồi lời ấy ngay. Tôi cũng biết nói vậy là quá khích và thực lòng tôi không có ý nói vậy đâu, chẳng qua tôi chỉ muốn nhấn thật mạnh rằng đừng nên sa đà với việc cho rằng học nghĩa là nghe giảng và đọc sách. Giá mà chúng ta có cuộc đời dài hơn, đầu óc thông minh hơn và số lượng người thầy tận tâm nhiều đến mức mà tỉ lệ thầy/trò là 1/1 thì tôi đã quyết giữ cái quan điểm quá khích kia. Tiếc là đời không được vậy.

Học toán thực ra là giải quyết những vấn đề cụ thể. Hilbert4có nói đâu đó (tôi không nhớ ở đâu) rằng cách tốt nhất để hiểu 1 lý thuyết là tìm cho ra 1 ví dụ điển hình cụ thể của nó và nghiên cứu ví dụ đó, một ví dụ thật căn cốt đến mức có thể minh họa mọi khả năng xảy ra. Sai lầm lớn nhất của nhiều sinh viên, thậm chí sinh viên giỏi, là dù họ có thể phát biểu vanh vách nội dung các định lý, nhớ chính xác phép chứng minh nhưng họ tuyệt không thể đưa ra được một ví dụ cụ thể nào, không xây dựng được các phản ví dụ hay giải được các bài toán trong một số trường hợp đặc biệt. Thực tế tôi đã thấy nhiều sinh viên có thể phát biểu được Định lý phổ cho toán tử Hermit trên không gian Hilbert nhưng lại không biết làm sao chéo hóa một ma trận thực đối xứng cấp ba. Vậy là bậy quá. Nghĩa là, học vậy là bậy. Mà cái học bậy đó thì chắc là, ít ra phải có một phần, do dạy bậy.

Paul Halmos.

Từ những nhà toán học chuyên nghiệp cho đến người lâu lâu đụng chuyện dùng toán, nghĩa là bao gồm luôn nguyên cái cộng đồng khoa học nằm giữa hai phân khúc đó, tất thảy họ đều cần phải giải quyết các vấn đề, nghĩa là giải các bài toán. Nhiệm vụ chúng ta là dạy họ giải các bài toán đó thế nào hay nói đúng hơn là dạy cho những người thầy tương lai của họ là nên dạy thế nào cho họ giải các bài toán đó.

Khóa nào tôi dạy tôi cũng thích bắt đầu bằng một bài toán. Lần gần nhất tôi dạy “nhập môn lý thuyết tập hợp” thì câu hỏi đầu tiên tôi đặt ra là định nghĩa của số đại số và câu hỏi thứ hai là: có số nào không phải là số đại số không. Hay lần gần nhất tôi dạy về “Lý thuyết hàm thực căn bản”, câu đầu tiên của tôi là một câu hỏi: có hàm số liên tục không tăng nào đi từ khoảng (0, 1) vào chính nó mà đồ thị có độ dài bằng 2 không? Hầu như cho khóa nào ta cũng đều có thể tìm vài câu hỏi kiểu vậy, tức là những câu hỏi có thể đặt ra mà gần như không cần thuật ngữ chuyên ngành nhưng vẫn đủ gây chú ý, hứng thú và đạt được những câu trả lời không tầm thường tí nào, bao quát được tất cả những ý tưởng quan trọng của môn học ấy. Sự tồn tại của những câu hỏi đó chính là ý nghĩa của việc nói rằng toán học chính là giải những bài toán và việc tôi nhấn mạnh vào việc giải toán (như là một hành động ngược lại với việc nghe giảng và đọc sách) thực ra được kích ý từ những câu hỏi đó.

Một phát biểu nổi tiếng của Polya5về việc giải toán là nếu anh không giải được một bài toán thì có nghĩa rằng có một bài toán dễ hơn bài đó anh không giải được –hãy tìm bài dễ hơn đó. Nếu bạn có thể dạy được phát biểu đó cho sinh viên thì hãy dạy đi, để cho những sinh viên đó sau này sẽ dạy lại cho học trò họ. Làm được vậy thì đã giải được cái bài toán “tạo ra người thầy dạy giải toán” rồi đó. Phần khó nhất của việc trả lời các câu hỏi chính là việc tạo ra các câu hỏi; nhiệm vụ của chúng ta như những người thầy hoặc như thầy của thầy chính là dạy được việc tạo ra câu hỏi. Dạy cho một kỹ sư dùng quyển các công thức phương trình vi phân thì dễ; cái khó là làm thế nào dạy anh ta (và thầy của anh ta) phải làm gì khi không tìm thấy câu trả lời trong quyển công thức ấy. Trong trường hợp đó thì vấn đề chính lại trở lại là “bài toán (dễ hơn) là gì?”. Hãy tìm ra câu hỏi đúng cần hỏi, vậy là đã bước trên con đường giải được bài toán cần giải.

Vậy thì cái bí mật, tức cách tốt nhất để học giải quyết một vấn đề là gì? Câu trả lời lại ngầm chứa trong câu mà tôi đưa ra lúc đầu, tức là “giải quyết các vấn đề”. Phương pháp mà tôi dùng có đôi lúc được gọi là “phương pháp Moore” vì chính do R.L. Moore6đã phát triển và áp dụng tại Đại học Texas. Đó là phương pháp dạy hay phương pháp tạo cho sinh viên tinh thần giải quyết vấn đề, chính là hỗn hợp của những gì Socrates xưa đã dạy chúng ta và cũng là tinh thần chiến đấu mạnh mẽ trong các cuộc thi đấu Olympic.

Cái cách mà một người giảng thì dở nhưng lại là một thầy giáo giỏi, theo nghĩa là tạo ra được những người học giỏi, chính là cách một hạt cát tạo ra được một con trai có viên ngọc trai. Một bài giảng hay và một cuốn sách, chẳng hạn, “Nhập môn đại số cho nữ sinh” có thể là dễ ưa thật đấy nhưng một ông thầy giỏi phải biết thách thức, đặt câu hỏi, gây bức bối, làm khó chịu, duy trì đòi hỏi cao- tóm lại là toàn những chuyện khó ưa. Một ông thầy giỏi có thể không phải là một ông thầy hòa đồng dễ gây cảm tình (trừ với những học trò cũ, giờ không học ông nữa, mới nhận ra ông đáng mến chừng nào), vì nhiều học trò không thích bị thách thức, bị đặt câu hỏi, bị quấy rầy, bức bối. Nhưng ông lại thai nghén ra những viên ngọc quý (thay vì đi đúc hàng loạt).

Truyền tâm thế nghiên cứu

Để tôi kể về cái lần tôi phải dạy 1 khoá đại số tuyến tính cho sinh viên mới nhập trường. Ngay buổi đầu tiên tôi bắt đầu bằng cách phát mấy tờ giấy cho sinh viên, trên đó ghi rõ 50 định lý. Chỉ định lý thôi, chẳng có giới thiệu, định nghĩa, giải thích gì và tất nhiên là cũng không có chứng minh. Thời gian còn lại tôi nói với lớp một chút về phương pháp Moore. Sau đó tôi bảo sinh viên là trong học kỳ đó khỏi đọc về đại số tuyến tính. Nói chung là cái khóa đó họ muốn làm gì thì làm, họ được miễn mọi công việc đọc, học hỏi như thường lệ. Nguyên khóa chỉ có 50 định lý ấy thôi. Chỉ mỗi việc hiểu 50 phát biểu đó, giải thích chúng, cho ví dụ và phản ví dụ và, dĩ nhiên là, chứng minh mấy định lý đó, là xong.

Robert Lee Moore được coi là một trong những nhà giáo dạy toán tốt nhất trong lịch sử. Ông có 50 học sinh cao học về sau trở thành những nhà toán học xuất sắc. Đại học Texas dành hẳn một tòa nhà mang tên ông. Ảnh: Daily Texan

Nguyên cả lớp dòm tôi. Họ không tin. Họ nghĩ chắc tôi làm biếng nên tìm cách bỏ chạy, chứ học kiểu đó thì học hành gì. Tới đó cũng chưa hết nửa tiếng đồng hồ buổi đầu tiên nên nửa tiếng còn lại tôi cho họ vài định nghĩa căn bản để hiểu chừng nửa tá định lý đầu tiên rồi sau đó chúc họ học tốt, bái bai. Tới buổi thứ hai và các buổi sau đó, tôi gọi Smith chứng minh định lý 1, Kovacs định lý 2, và cứ vậy. Tôi khuyến khích Kovacs, Herrero và các sinh viên khác hãy rình Smith như chim ưng rình mồi và xâu xé anh ta liền nếu anh ta sai.

Tôi thì ngồi nghe, cẩn thận hết mức và mặc dù cố không ra vẻ tàn bạo thì chính tôi đôi lúc cũng nhảy vào công kích sinh viên đang chứng minh ấy luôn, khi tôi thấy mình cần phải làm vậy. Tôi chỉ ra những chỗ hổng, kiên trì nói là tôi không hiểu, rồi đặt những câu hỏi về mấy vấn đề bên lề, đòi những phản thí dụ hoặc đôi lúc tôi cung cấp luôn. Có cơ hội là tôi nói về lịch sử của vấn đề, bài toán rồi chỉ ra những mối liên hệ với những phần khác trong toán. Thêm vào đó, tôi có thể lấy hẳn 5 phút để giới thiệu về định nghĩa mới của vấn đề vừa nảy ra. Tính chung tôi giảng khoảng 20 phút cho mỗi tiết 50 phút. Thực ra thì 20 phút là dài rồi nhưng dù sao cũng ngắn hơn nhiều so với 50 phút (có khi còn là 55 phút) cho mỗi tiết.

Vậy mà khóa học lại thành hấp dẫn. Đến tuần thứ hai, sinh viên vẫn đang chứng minh các định lý và tìm những lỗi của nhau trong chứng minh, rõ ràng là một tiến trình học dễ chịu. Nhiều sinh viên cảm động đến với tôi mà thú thật rằng lúc đầu họ rất ngờ vực nhưng sau đó họ đã tâm phục. Hầu hết sinh viên đều nói rằng họ dành thời gian cho môn đó của tôi nhiều hơn các môn khác trong cùng kỳ và rằng họ học được rất nhiều.

Những gì tôi vừa kể rất giống “phương pháp Moore” như ông R. L. Moore đã dùng nhưng cũng có nhiều điểm thay đổi. Tôi chắc rằng có thể tạo ra hàng trăm điểm khác biệt để tùy vào mỗi thầy và mỗi môn học mà điều chỉnh và dùng. Những điểm chi tiết nhỏ đó không phải là điều chính yếu. Quan trọng là khiến cho đặt được câu hỏi và trả lời câu hỏi.

Nhiều lần tôi dùng phương pháp Moore thì một hay hai học kỳ sau, các giáo sư cùng trường nói với tôi rằng họ nhận ra được ngay học trò nào trong lớp họ đã từng dự “lớp Moore” của tôi thông qua thái độ, hành vi những học trò đó. Điểm khác khiến họ nhận ra đó chính là sự trưởng thành về mặt toán học (cách/tâm thế nghiên cứu) so với những sinh viên khác và có khuynh hướng và khả năng hơn trong việc đặt ra những câu hỏi đi thẳng vào trọng tâm.

Chính cái “tâm thế nghiên cứu” là một hỗ trợ vô cùng to lớn cho mọi thầy giáo, học trò, người sáng tạo và người dùng toán. Để nói cho rõ hơn thì, ví dụ như tâm thế đó đã giúp tôi thế nào khi tôi dạy môn Phép tính vi tích phân căn bản (cho một lớp quá đông nên không dùng được “phương pháp Moore”), vì tôi có một trí nhớ rất “thần sầu”. “Thần sầu” ở đây nghĩa là tệ thần sầu. Vì nếu chỉ cần không dạy môn tính đó trong chừng một hay hai học kỳ là tôi quên sạch. Quên các định lý, các bài toán, công thức, kỹ thuật. Thành ra một tuần trước khi dạy, lúc soạn bài, ngó cái đề cương/mô tả môn học, nếu không có cái đó thì ngó cái bảng mục lục các tựa đề bài giảng (chỉ tựa đề thôi chứ không xem nội dung cần giảng) là tôi phải làm lại từ đầu, nghĩa là tôi phải đi ‘nghiên cứu’ về môn Phép tính vi tích phân ấy. Kết quả là tôi luôn thấy hứng thú hơn là nếu tôi đã nhớ sẵn, và lần nào cũng vậy, tôi đều ngạc nhiên và vui thú một cách nguyên sơ bởi những tái phát kiến của sinh viên về những điều chắc Leibniz đã biết từ hồi ông còn be bé. Cái sự hứng thú, ngạc nhiên, vui thú và sốt sắng ấy của tôi cả lớp đều cảm nhận rõ và nó được các sinh-viên-phát-kiến xem như một nghi lễ phong tước cho họ.

Nhà toán học Tadashi Tokieda (người đứng trên bàn), ĐH Stanford nổi tiếng về những bài giảng của mình, sử dụng những hiện tượng xung quanh đồ vật thường ngày để minh họa cho những định lý toán học và vật lý. Nguồn: japaneseamericaninboston.blogspot.com

Để dạy được tâm thế nghiên cứu thì mỗi người thầy phải nghiên cứu và phải được rèn luyện trong việc làm nghiên cứu. Ý tôi không phải là thầy nào dạy lượng giác thì phải bỏ nửa đời ra mà đi chứng minh các định lý quá khó về categorical teratology chẳng hạn và tham gia cuộc đua “publish or perish” (phải có bài công bố cho bằng được). Ý tôi là mỗi thầy giáo, dù là dạy đại số trung học đi chăng nữa thì cũng thành thầy giỏi hơn nếu nghĩ về những ứng dụng của môn đó trong những lĩnh vực khác, đọc về những kết nối của môn đó với các môn khác, tìm cách giải quyết những vấn đề mà những ứng dụng hay liên kết đó mang đến – tóm lại là nếu người thầy đó chịu nghiên cứu sâu về môn đại số ở trung học cùng những lĩnh vực liên quan đến nó. Đó là cách duy nhất để giữ tâm thế nghiên cứu, tâm thế đặt câu hỏi cứ sống mãi trong chính người thầy đó và giữ nó trong điều kiện thích hợp để truyền đạt lại cho người khác.

Rồi, nói cho gọn thì chỉ có mấy điều thôi:

Cách học tốt nhất là hành – hỏi và làm.

Cách dạy tốt nhất là khiến cho sinh viên hỏi và làm. Đừng đi rao giảng kiến thức– hãy kích thích hành động.

Cách dạy cho người dạy tốt nhất là khiến họ hỏi và làm những gì để sau này đến phiên họ cũng sẽ khiến sinh viên của họ hỏi và làm.□

Phan Đình Phùng,Hồ Hồng Ândịch

Nguồn:https://www.jstor.org/stable/2319737?seq=1#page_scan_tab_contents)

Chú thích:

[1] Emil Artin (1898-1962) nhà đại số hàng đầu người Áo, thầy của nhiều nhà toán học nổi tiếng như S. Lang, M. Zorn.

[2] John von Neumann (1903-1957) nhà toán học thiên tài Mỹ gốc Hung, người đặt nền móng cho nhiều ngành khoa học như lý thuyết trò chơi, khoa học máy tính. Ông là thành viên của dự án Manhattan, chế tạo bom nguyên tử.

[3] Norbert Wiener (1894-1964) Nhà toán học Mĩ, giáo sư toán tại MIT, người có đóng góp lớn cho điều khiển học, điều khiển máy tính và tự động hóa.

[4] David Hilbert (1862-1943) Một trong những nhà toán học ảnh hưởng nhất cuối TK 19 người Đức, thầy hướng dẫn của von Neumann.

[5] George Pólya (1887-1985) nhà toán học Hungary. Quyển sách “How to Solve It” của ông về phương pháp giải Toán từ lâu đã được dịch ra nhiều thứ tiếng (trong đó có tiếng Việt).

[6] R.L. Moore (1882–1974) nhà tô pô học người Mĩ, giáo sư Đại học Taxas, nổi tiếng với “phương pháp Moore”. Ông từng nói “Người học trò được dạy tốt nhất là người được giảng ít nhất” (“That student is taught the best who is told the least”).